Kodierungstheorie
Die Kodierungstheorie beschäftigt sich u.a. mit dem Entwurf und der Anwendung von fehlerkorrigierenden Codes sowie den zugehörigen Kodierungsalgorithmen. Anwendung finden fehlerkorrigierende Codes z.B. bei Musik-CDs, Mobil-Telefonen oder bei Datenübertragung aus dem Weltall.
Um Fehler korrigieren zu können, müssen redundante Daten übertragen werden. Andererseits sollte die Datenmenge aus Geschwindigkeitsgründen möglichst klein bleiben. Es ist daher das Ziel, Familien von Codes zu konstruieren, die den theoretischen Schranken für die Übertragungsrate bei gegebenem relativem Abstand der Codewörter möglichst nahe kommen.
AG-Codes sind solche Codes, die algebraische Kurven über
endlichen Körpern und Vektorräume
von Divisoren zur
Kodierung verwenden.
Am bekanntesten sind die Goppa Codes. AG-Codes kommen zur Zeit dem oben genannten Ziel am nächsten.
Es hat sich herausgestellt, dass die effektive Anwendung von AG-Codes
in erster Linie von der Lösung zweier Probleme abhängt: der
Berechenbarkeit einer Basis der Räume
und der Berechenbarkeit der Weierstraß-Halbgruppe.
Campillo und Farran entwickelten einen Algorithmus (implementiert in Singular von Farran und Lossen), der diese Probleme löst.
Wichtig sind hierbei vor allem die theoretischen Einsichten in die Realisierbarkeit guter Codes. In der Praxis werden diese Codes zur Zeit allerdings noch nicht verwendet.